Funciones

El término de "función" que se utiliza actualmente, se debe al matemático francés Augustin Louis Cauchy (1789-1857), fue el primero en manejar la sistematización de grupos, así como también en definir todo lo relacionado con una función.

CONCEPTOS

Función. Es el conjunto de pares ordenados, donde a un elemento del dominio, le corresponde uno y solo uno de los elementos del contradominio.

A = {1, 2, 3} -> dominio
B = {a, b, c} -> contradominio

A           B

 1 --------  a
 2 --------  b
 3 --------  c

Por el método gráfico una función se determina, cuando dada una igualdad algebraica al trazar rectas paralelas al eje de las ordenadas, corta a su gráfica en un solo punto.

Relación. Es el conjunto de pares ordenados, donde a un elemento del dominio le corresponde dos o más elementos del contra dominio.

A = {1, 2, 3} -> dominio
B = {a, b, c, d} -> contradominio

A           B

 1 --------  a
 2 --------  b
 3 --------  c
    --------  d

Por el método gráfico una relación se determina, cuando dada una igualdad algebraica al trazar rectas paralelas al eje de las ordenadas, corta a su gráfica en dos puntos.

Dominio: Es el valor que se le da arbitrariamente a la variable independiente.

x	y
-2
-1
0
1
2

Imagen: Es el valor que obtiene la variable dependiente al sustituir a un dominio en una igualdad llamada función.

f(x) = 2x

x	f(x) = 2x
-2	f(-2) = -4
-1	f(-1) = -2
0	f(0) = 0
1	f(1) = 2
2	f(2) = 4

Contradominio (Codominio): Es el conjunto de imágenes que adquiere la variable dependiente.

Funciones lineales

1.- Funciones de la forma y = mx

En toda función de la forma y = mx, su representación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta, la cual pasa por el origen del sistema, donde y es la variable dependiente, x es la variable independiente y m es la pendiente de la recta. 

Ejemplo. Tabular y graficar las siguientes funciones:

1.- y = 2x,  donde x = {-2, -1, 0, 1, 2}

x	y = 2x	(x, y)
-2	y = 2(-2) = -4	(-2,-4)
-1	y = 2(-1) = -2	(-1,-2)
0	y = 2(0) = 0	(0,0)
1	y = 2(1) = 2	(1,2)
2	y = 2(2) = 4	(2,4)

2.- y = -2x,  donde x = {-2, -1, 0, 1, 2}

x	y = -2x	(x, y)
-2	y = -2(-2) = 4	(-2,4)
-1	y = -2(-1) = 2	(-1,2)
0	y = -2(0) = 0	(0,0)
1	y = -2(1) = -2	(1,-2)
2	y = -2(2) = -4	(2,-4)

2.- Funciones de la forma y = mx + b

En toda función de la forma y = mx + b, su representación gráfica en el plano cartesiano es una línea recta, la cual pasa por el punto b sobre el eje de las ordenadas.

Ejemplo. Tabular y graficar las siguientes funciones.

1.- y = 2x + 4,  donde x = {-2, -1, 0, 1, 2}

x	y = 2x + 4	(x, y)
-2	y=2(-2)+4=0	(-2,0)
-1	y=2(-1)+4=2	(-1,2)
0	y=2(0)+4=4	(0,4)
1	y=2(1)+4=6	(1,6)
2	y=2(2)+4=8	(2,8)

2.- y = 3x - 5, donde x = {-2, -1, 0, 1, 2}

x	y = 3x - 5	(x, y)
-2	y=3(-2)-5=-11	(-2,-11)
-1	y=3(-1)-5=-8	(-1,-8)
0	y=3(0)-5=-5	(0,5)
1	y=3(1)-5=-2	(1,-2)
2	y=3(2)-5=-1	(2,-1)

Funciones cuadráticas

1.- Funciones de la forma y = x²

En toda función de la forma y = x², su representación gráfica en el plano cartesiano es una parábola, la cual pasa por el origen del sistema, con cóncava  hacia arriba y paralela al eje de las ordenadas. Si la función es positiva y = x², la línea pasa por los cuadrantes I y II. Si la función es negativa y = -x², la línea pasa por los cuadrantes III y IV.

Ejemplo. Tabular y graficar las siguientes funciones:

1.- y = x²  donde x = {-2, -1, 0, 1, 2}

x	y = x2	(x, y)
-2	y = (-2)2 = 4	(-2,4)
-1	y = (-1)2 = 1	(-1,1)
0	y = (0)2 = 0	(0,0)
1	y = (1)2 = 1	(1,1)
2	y = (2)2 = 4	(2,4)

2.- Funciones de la forma y = x² + c

En toda función de la forma y = x² + c, su representación gráfica en el plano cartesiano es una parábola, que toca al eje de las ordenadas en el punto c. Si la función es positiva y = x² + c, la línea se localiza en el eje positivo y. Si la función es negativa y = x² + c, la línea se localiza sobre el eje negativo y.

Ejemplo. Tabular y graficar las siguientes funciones.

1.- y = x²+2  donde x = {-2, -1, 0, 1, 2}

x	y = x2+2	(x,y)
-2	y=(-2)2+2= 6	(-2,6)
-1	y=(-1)2+2= 3	(-1,3)
0	y=(0)2+2= 2	(0,2)
1	y=(1)2+2= 3	(1,3)
2	y=(2)2+2= 6	(2,6)

3.- Funciones de la forma y = (x + c)²

En toda función de la forma y = (x + c)², su representación gráfica en el plano cartesiano es una parábola, cuyo vértice es el punto c, que se localiza en el eje de las abscisas. Si la función es positiva y = (x + c)² se desliza hacia la izquierda a partir del origen. Si la función es negativa y = (x - c)² se desliza hacia la derecha a partir del origen.

Ejemplo. Tabular y graficar las siguientes funciones:

1.- y = (x + 2)², donde x = {-2, -1, 0, 1, 2}

x	y = (x + 2)2	(x,y)
-2	y=(-2+2)2=0	(-2,4)
-1	y=(-1+2)2=1	(-1,1)
0	y=(0+2)2=4	(0,0)
1	y=(1+2)2=9	(1,9)
2	y=(2+2)2=16	(2,16)

4.- Funciones de la forma y = 1/x

En toda función de la forma y = 1/x, su representación gráfica en el plano cartesiano es una línea hipérbola.  Si la función es positiva, la hipérbola se localiza en los cuadrante I y III. Si la función es negativa, la hipérbola se localiza en los cuadrantes II y IV; teniendo sus asíntotas sobre los ejes del sistema cartesiano.

Ejemplo. Tabular y graficar las siguientes funciones.

1.- y = 1/x  donde x = {-3, -2, -1, -1/2, -1/4, -1/5, 1/5, 1/4, 1/2, 1, 2, 3}

x	y = 1/x	(x,y)
-3	y=1/-3=-1/3	(-3,-1/3)
-2	y=1/-2=-1/2	(-2,-1/2)
-1	y=1/-1=-1	(-1,-1)
-1/2	y=1/-1/2=-3	(-1/2,-3)
-1/4	y=1/-1/4=-4	(-1/4,-4)
-1/5	y=1/-1/5=-5	(-1/5,-5)
1/5	y=1/1/5=5	(1/5,5)
1/4	y=1/1/4=4	(1/4,4)
1/2	y=1/1/2=2	(1/2,2)
1	y=1/1=1	(1,1)
2	y=1/2=1/2	(2,1/2)
3	y=1/3=1/3	(3,1/3)