Sistemas de ecuaciones lineales (2x2)

Un sistema de ecuaciones, es una colección de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas.

Resolver un sistema de ecuaciones 2x2, significa encontrar los valores de X y de Y que satisfagan a la ecuación.

1.- Método de suma o resta (reducción).

El método de suma o resta consiste en realizar operaciones con las ecuaciones de un sistema para eliminar una de las variables a fin de encontrar una ecuación con una incógnita y resolverla como tal, hasta encontrar los valores que satisfagan dicha ecuación.

Ejemplo de aplicación

  2x + 3y =  13      ec. 1

 -2x + 2y = -18     ec. 2

           5y = -5

             y = -5/5

             y = -1

Sustituir y en ec. 1

2x + 3y = 13

2x + 3(-1) = 13

2x -3 = 13

2x = 13 + 3

2x = 16

x = 16/2

x = 8

2.- Método de sustitución.

Para resolver un sistema de ecuaciones 2x2 por el método de sustitución, se procede de la siguiente manera:

1. Se despeja cualquiera de las dos incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones y así obtener una tercera ecuación.
2. Se sustituye el valor de la incógnita ya despejada en cualquiera de las dos ecuaciones dadas, para obtener el valor de la primera incógnita.
3. Se sustituye el valor de la incógnita ya localizada en la tercera ecuación y así obtener el valor de la segunda incógnita.

Ejemplo de aplicación

   2x +  y  =  6    ec. 1

     x + 4y = 17   ec. 2

1.- Despejar x en ec. 1
      2x + y = 6
       x = (6 - y)/2   ec. 3

2.- Sustituir x en ec. 2
      x + 4y = 17
      (6-y)/2 + 4y = 17
      (2)[(6-y)/2 + 4y] = (2)(17)   -> Multiplicar por 2 para eliminar el denominador de la fracción
      6 - y + 8y = 34
      8y - y = 34 - 6
      7y = 28
      y = 28/7
      y = 4

3.- Sustituir y en ec. 3
     x = (6 - y)/2
     x = (6 - 4)/2
     x = 2/2
     x = 1

3.- Método de igualación.

La solución de un sistema de ecuaciones 2x2 utilizando el método de igualación se obtiene de la siguiente manera:

1. Se despeja cualquiera de las dos incógnitas en cualquiera de las dos ecuaciones, obteniendo así las ecuaciones tres y cuatro.
2. Se igualan las ecuaciones tres y cuatro, obteniendo así una ecuación de primer grado que nos va a dar la solución de la primera incógnita.
3. Se sustituye el valor de la primera incógnita en cualquiera de las ecuaciones tres o cuatro y así obtener el valor de la segunda incógnita.

Ejemplo de aplicación

\[\left\lbrace x+y=10 \atop x-y=6 \right.\]

1.- Despejar x en ec.1 y ec.2
x + y = 10
x = 10 - y

x - y = 6
x = 6 + y

2- Igualando 3 y 4
10 - y = 6 + y
-y-y = 6-10
-2y = -4

y = -4/-2
y = 2

4.- Método de determinantes.

Para resolver un sistema de ecuaciones 2x2 por el método de determinantes de segundo orden, se aplica la siguiente regla:

Regla de Cramer -> "Producto de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria".

Para aplicar la regla de Cramer, debemos obtener una combinación de determinantes donde intervienen las determinantes independientes y los determinantes del sistema. Para calcular los valores de x se combinan las determinantes independientes con las determinantes del sistema. Para calcular el valor de y se combinan las determinantes del sistema con las determinantes independientes; todo esto en el numerador de una fracción. El denominador de esta fracción se complementa únicamente con las determinantes del sistema.